Fractais
A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as
propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não
podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em
ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos
fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as
definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
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Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em
partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os
fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto similares e independem de
escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido,
tipicamente um processo recorrente ou iterativo.Clique em mais informações para ver tudo.
História
Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.
Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas
figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir dos
anos 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi
Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras.
Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela
descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.
Categorias de fractais
Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regra fixa
de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski,
Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de
Harter-Heighway, T-Square, esponja de Menger, são alguns exemplos deste tipo de
fractal.
Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada
ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto
de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de
fuga do tempo.
Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao
invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua
auto similaridade. Existem três tipos de auto similaridade encontrados em
fractais:
Auto similaridade exata: é a forma em que a
auto similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes
escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente
apresentam uma auto similaridade exata.
Quase-auto similaridade: é uma forma mais solta de
auto similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente)
idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto similares contém pequenas
cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais
definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto similares, mas
não exatamente auto similares.
Auto similaridade estatística: é a forma menos evidente de
auto similaridade. O fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são
preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente
implicam alguma forma de auto similaridade estatística (mesmo a dimensão
fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais
aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto similaridade estatística,
mas não são exatamente nem quase auto similares.
Entretanto, nem todos os objetos auto similares são
considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo,
é exatamente auto similar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são
fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de
fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também
objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real
representam propriedades complexas e não repetitivas.Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.
Definições
Os fractais podem ser definidos segundo algumas
características intuitivas, pois se torna difícil a conversão da definição
matemática para a linguagem ordinária devido à falta de termos adequados à sua
tradução.
Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado
para o qual a dimensão de Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão
topológica (número inteiro que caracteriza a geometria de um objeto euclidiano
– por exemplo: zero para um ponto, um para uma linha, etc.), onde fractais
cujas estruturas sejam ego-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a
dimensão de Minkowski-Bouligand. Simplificando, o todo forma a parte e a parte
forma o todo.
* Não há nenhum significado preciso para o termo "muito
irregular".* Quando se diz "dimensão", pode haver dúvida na
definição do conceito, pois o termo pode ter diversos significados (por
exemplo: "tamanho", "importância, -no sentido de valor-",
"ordem de matrizes na representação matricial de um grupo",
"grau", "num espaço vetorial, o número de vetores de sua
base", "num espaço, o número mínimo de coordenadas necessárias à
determinação unívoca de seus pontos", etc.). Porém no caso dos fractais,
dimensão significa estritamente o "número fracionário ou irracional que
caracteriza a geometria de um fractal.".* Há muitos modos que um objeto
pode ser ego-semelhante. Pode-se tentar explicar como uma espécie de fractais
"irmãos gêmeos idênticos", onde existe a igualdade na semelhança
física, porém suas 'personalidades' são diferentes". Isto ocorre quando
inicialmente as curvas são alimentadas pelos mesmos dados, mas em determinado
momento, há um desvio nos valores dos dados, por exemplo, quando observamos
dois fractais numa escala 1:1, estes têm exatamente a mesma aparência, mas se
os observarmos numa dimensão 1:1.000.000, as figuras observadas são
completamente diferentes.* Nem todo fractal possui repetitividade, dependendo
dos dados inseridos (principalmente no domínio do tempo) este não terá em
escalas menores a mesma aparência, aparecendo distorções da figura.
Exemplos
Duas folhas de
acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural.
Árvores e samambaias (ou fetos) são pseudo-fractais naturais
(aproximadamente fractais - esses objetos exibem uma estrutura auto similar ao
longo de um prolongado, mas finito, intervalo) que podem ser modelados em
computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de recursividade
ou repetitividade está clara nestes exemplos: num ramo de uma árvore ou na
folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica - não idêntica, porém
semelhante na estrutura - em miniatura do todo.
Os fractais são geralmente corrugados na sua forma (tanto em
cálculos quanto nas imagens que deles resultam). Portanto, não são objetos
definíveis pela geometria tradicional. Isso quer dizer que os fractais tendem a
ter detalhes significantes, visíveis sob qualquer ponto de vista, ou seja, suas
variações visuais são perfeitamente mensuráveis. Quando houver ego-semelhança,
haverá recursividade ou repetitividade, ou seja, em "zoom" poderá ser
observada a repetição da figura.
Por exemplo, uma forma euclidiana normal - como um círculo -
parece mais aplainada e alisada quando é amplificada. Numa ampliação infinita,
seria impossível se diferenciar o círculo de uma linha reta. No caso dos
fractais, isto não acontece (embora, também neste caso, quanto mais
amplificarmos, mais nos aproximamos da linha reta) em razão da perda de dados
ao longo de múltiplas amplificações (desvios acontecem pela imprecisão das
inserções sequenciais dos dados).
Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos
as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos
sanguíneos, os feixes nervosos, etc. Com maiores ou menores graus, estas
figuras estão classificadas em diversas magnitudes.
Apesar de existirem por toda a natureza e de serem
onipresentes, estes objetos somente foram realmente estudados a fundo no século
XX.
Os Fractais são normalmente gerados através de computadores
com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos
objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos
o Xaos -http://xaos.sourceforge.net/index.php.
Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar
as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria
turbulência, os litorais, e árvores. As técnicas fractais também estão sendo
empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além
das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.
Montanhas Fractais
A superfície de uma
montanha
pode ser modelada num computador usando uma fractal: começamos com um triângulo
no espaço 3D. Acham-se os pontos centrais das 3 linhas que formam o triângulo e
criam-se 4 novos triângulos a partir desse triângulo. Deslocam-se depois
aleatoriamente esses pontos centrais para cima ou para baixo dentro de uma gama
de valores estabelecido. Vai-se repetindo o mesmo procedimento mas fazendo os
deslocamentos dos pontos centrais dentro de uma gama de valores que em cada
iteração é igual a metade da anterior.
Atrator de Lorenz
O desenho da trajetória
do Sistema de Lorenz para valores r = 28, σ = 10, b = 8/3
Introduzido por Edward Lorenz em 1963, o Atrator de Lorenz é
um sistema não linear tridimensional determinista dinâmico derivado de equações
simplificadas tiradas das convencionais equações dinâmicas da atmosfera. Para
um determinado conjunto de paramentos o sistema exibe um comportamento caótico
e mostra o que é hoje chamado de atrator estranho. O atrator estranho, neste
caso, é um fractal.
Vídeo demonstrando zoom no fractal
Fonte
[Wiki]
Muito obrigado por apresentar a beleza da matemática que há em tudo.
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